Офф. Задача на вступительном по математике
 

Есть числовой ряд с общим членом An = 1/SQR(n)
Найти целую часть суммы первого миллиона его членов.

Никогда не любил ряды и давно с ними не работал, но
сумма Sn = S/SQR(f(n)), где f(n) - факториал n, S - сумма членов ряда, член которого выражается как An=SQR(f(1000000)/n) Это вытекает из обычного способа складывания дробей.
А вот быстро вычислить S мне сейчас слабо :( - давно выпал из темы.
Если не секрет, в какой ВУЗ такая задача на вступительном? Это ведь не школьная математика - у нас(технический факультет, а не математический) это было на втором курсе универа. Разве что спецщкольная".

Собственно, если мало-мало подумать, то S = SQR(f(1000000)(S1), где S1 - сумма ряда, член которого равен An = SQR(1/n)

Поправляя
для n=1000000
S = SQR(f(1000000))S1/SQR(f(1000000)) = S1

МИФИ
школьная математика и решается за 5 минут :)

как много я успел забыть! Помню были еще какие-то ряды то-ли Фурье... то-ли Френеля... я их на калькуляторе до 12-ой гармоники рассчитывал на ТММ. надо в Корна глянуть...

не интересные загадки
(0) со вступительных на филологический лучше давай

(4)Не припомню, чтобы ряды изучались в школе, во всяком случае в мои школьные времена. В универе - точно.
(5)Рядов всяких до фига и больше :)

здесь не надо знать свойства рядов... надо просто найти целую часть суммы...

(8) Сказать "просто" - просто. Сделать - не всегда :)
Без знания рядов? И решение сможешь привести ( или намек на него )? В качестве аргументации своих слов.

могу... школьники решают быстро...

или подождать с подсказкой? может, кому интересно самому решить...

SQR - это корень или квадрат ?

- я бы использовал приближение суммы интегралом.
в таком случае, Интеграл(1/sqrt(x)*dx)=2*sqrt(x), в пределах от 0.5, до 1000000.5 (приближение суммы прямоугольниками), даст значение 1998.59, а целая часть = 1998.
Главная погрешность определяется первым членом ряда.
Сумма для первого члена ряда = 1, приближение интегралом в пределах от 0.5 до 1.5, даёт значение = 1.03528.

Похоже, что я мог неверно понять условия. SQR - вторая степень? Тогда лучше было написать 1/(n^2) - так понятнее. Там ответ, насколько я понимаю - 1, т.к. сумма любого количества последующих членов всегда меньше предыдущего.
Я говорил о решении для 1/(n^0.5), где я не вижу решения без применения знаний о рядах.

если корень, то это убывающий ряд и сумма конечна.

интеграл в пределах от 1 до 1000 000 = 2000 - 2 = 1998

SQR = Корень квадратный

(13) правильно... дети приучены рассматривать графическое решение...

[img]http://s019.radikal.ru/i617/1305/d5/5d96306f05ff.jpg[/img]

(16) надо только ещё и расписать в одну строчку точное решение зажатости интеграла I между суммой от двух до миллиона плюс один и суммой от одного до миллиона :)

самое смешное, что в моё время мы не проходили в школе производных и интеграла... в отличие от нынешних :)

а вот задачка по вчерашней истории (дочь сдавала ЕГЭ)... Определить как можно точнее дату события, отражённого в карикатуре:

[img]http://img1.nnm.ru/imagez/gallery/0/a/4/e/2/0a4e20fa63cb78e212ec21302210096b_full.jpg[/img]

(17)Наплевать, к чему там приучены дети. [u]Правильное[/u] решение в случае, если "SQR" - "корень квадратный из" возможно только через ряды или тупые вычисления, что для случая с n=1000000 и [u]приемлемых[/u] сроках возможно только с применением техники.
Так что "детское" решение в этом случае не прокатывает - либо ряды, либо лобовое решение - вычисления, пусть и с помощью компа и программ типа Маткада.
Для случая "SQR" - "вторая степень" - да, "детское" решение будет верным, хотя его еще придется совершенно четко обосновать.
Ты, кстати, так и не озвучил ответ, который экзаменаторы считают правильным. Мне приходилось на олимпиадах сталкиваться с такими моментами, когда правильность ответа оценивалась не с т.з. правильности, как таковой, а с т.з. правильности в пределах школьной программы - "вы - школьники и этого по программе еще не проходили, поэтому правильным считается вот так, а не так, как это есть на самом деле".

(21) август 1939 однако: пакт о ннападении

(22) обозначим искому сумму от 1 до миллиона (чёрные прямоугольники) за S...
тогда сумма от двух до миллион первого члена (голубые прямоугольники) будет S - 1 + 0.001(прибл.)

Отсюда:
S - 0.999 < I < S

или:
I < S < I + 0.999
1998 < S < 1998.99

(13) Садись. Двойка.
Даже для n=3 сумма больше, чем указанная тобой.
n=1 An=1
n=2 An=0.707
n=3 An=0,577
S(3) = 2,284

(23) Скорее 22.06.1941

ответов пока нет... я тоже склоняюсь к 22 июня...

а вот ещё задание... только не гуглить...

"Февральская революция считается демократической революцией в собственном смысле слова. Политически она развертывалась под руководством двух демократических партий: социалистов-революционеров и меньшевиков. Возвращение к "заветам" Февральской революции является и сейчас официальной догмой так называемой демократии. Все это как будто дает основание думать, что демократические идеологи должны были поспешить подвести исторические и теоретические итоги февральскому опыту, вскрыть причины его крушения, определить, в чем собственно состоят его "заветы" и каков путь к их осуществлению."

Эти слова Л.Троцкого написаны в 1924-1925 г.г.
Ответы: "да", "нет"

(24)Откуда всплыла цифра 1998? Возможно, что это и есть правильный ответ, но вывода этой цифры я не вижу. А ответ без вывода решением не является. Во всяком случае на экзамене, поскольку говорит о чутье, но ничего - о знаниях.

(21) Пакт Молотова-Риббентропа, [url]http://lurkmore.to/%D0%9F%D0%B0%D0%BA%D1%82_%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A0%D0%B8%D0%B1%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B0[/url]

(28) I = Интеграл(dx/SQRT(x)) = 2*SQRT(x) = 2*(1000-1) = 1998

(29)
1. этот пакт Сталин выронил от удара в спину
2. справа за Гитлером атакующие самолёты и танки

из простейшей части А (только не подглядывать в инете)

Кто сказал: "Наше дело правое. Враг будет разбит. Победа будет за нами."?

1. Жуков
2. Левитан
3. Молотов
4. Сталин

(30)Сумма ряда в общем случае не тождественна интегралу от соответствующей функции на аналогичном промежутке значений. Именно потому, что функция - "плавная", а ряд - "ступенчатый". Т.к. ряд не знакопеременный, то точность вычисления второго через первое вполне может быть такова, что вместо 1998 правильным окажется 1999 или 1997.
Математически четкого доказательства обратного я не вижу :)
Все мои до...копки :) к тому, что без теории рядов получить [u]математически доказанный[/u] ответ не представляется возможным. Оценочное значение - да, в технике чаще всего так и поступают, но математически точное - нет.

дык... вот же [b]точное[/b] решение в (24) через неравенства...

чёрные прямоугольники строго БОЛЬШЕ интеграла I, а голубые строго МЕНЬШЕ... строго два неравенства:
I < S < I + 0.999

строго целая часть S доказательно найдена

(34) Не смешите. За такое "точное" решение мой препод по математике не просто влепил бы Вам двойку, но и третировал бы потом всё время преподавания математики :)
Просто на вот именно таких "точных" решения и потсроены различные математические и физические софизмы типа известного "Ахиллес никогда не догонит черепаху" :)

34-Гена > + добавлю для (25-СоболиныйГлаз)
Приближение интегралом для n=3 :
Интеграл(1/sqrt(x)*dx)=2*sqrt(x), в пределах от 0.5, до 3.5 = 2.32744;
Приближение интеграла суммой ряда для n=3:
= 2.284 - не считал - по вашим данным.
Разница между интегралом и суммой:
= 0.04344
При этом вклад в погрешность даётся первым членом ряда и составляет 0.03528, далее, с ростом n, погрешность быстро затухает...
Интеграл, в данном случае, всегда даёт приближение ряда сверху.
Нарисуйте картинку приближения интеграла суммой прямоугольников (суммой ряда), в позициях x=n+-0.5, при значениях 1/sqrt(x), x=n и смотрите сами.
А зажатость интеграла представлена в (24-Гена).

(35)Я Вам не зря говорил про то, что этот ряд не знакопеременный :) Либо Вам математику преподавали плохо, либо Вы ее не усвоили. Дальнейшее обсуждение вопроса на этом фоне не имеет смысла.

ну давайте совсем разжуём:
Сумма голубых = S - 1 + A_1000001
A_1000001 > 0

Отсюда
Сумма голубых < S - 1

Сумма голубых < I < Сумма чёрных
S - 1 < I < S

или
I < S < I + 1
1998 < S < 1999

Доказано:
[S] = 1998