ОФФ: Олимпиада
 

Вот пришла с работы, сделала балансы, простояла 2 часа в пробке туда, 3 часа обратно.ж.. терь к олимпиаде п математике готовлюсь:) все решила, только с одним доказательством башка уже не варит:

Квадрат с вершинами в углах сетки и сторонами длиной 2015, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4?

периметр основного квадрата делится на 4, периметр минимального прямоугольника сетки делится на 4... этого достаточно для доказательства?

А какой приз?

Конечно, да.
Шаг линии сетки не указан.
Поэтому я могу вырезать в этом квадрате, например, дырку квадрат 40х40 (уже делится) и далее уже как угодно резать на всякие какие хочешь прямоугольники.

Это так называемая, задачка для дебилов. Часто на олимпиадах такие подкидывают. И не одну.
Одаренные дети (типа меня) - решают ее мгновенно и с недоумением.
Неодаренные - решают такие задачки много часов, теряя на этом драгоценное время.

А если я специально задамся целью так все порезать, чтобы ни один не делился на 4...
Фиг у меня что получится.
Как бы я не извращался, периметр всегда будет делиться на 2. Потому что это периметр.

Ну, допустим, что я порезал все на кусочки, каждый периметр которого делится на 2 и не делится на 4... Допустим, умудрился.
У меня остался последний кусочек, непорезанный остаточек.
Будет ли его периметр делиться на 4?

(0) Периметр прямоугольника не делится на 4 тогда и только тогда, когда он (прямоугольник) составлен из четного числа "базовых" квадратов. Это утверждение надо доказывать?
Дальше все очевидно: как бы исходный квадрат не резался- останется как минимум один прямоугольник из нечетного числа "базовых" квадратов. Это утверждение надо доказывать?

(7) а как же квадрат 2х2 ?

Гена, спасибо, прогнал спросонья...

Нечетное количество квадратов достаточное но не необходимое условие чтоб периметр составленном из них прямругольника был кратер 4
Для данного случая этого достаточно

(9) вообще, если доказывать от противного, то резать надо всегда так, чтобы не выскочил ЛЮБОЙ квадрат, иначе при нём всегда имеем его периметр 4*а

В (7) не от противного. Там прямое доказательство. От противного вряд ли получится: не обязательно квадрат 1*3 тоже даст кратный четвёрке периметр. По крайней мере в рамках олимпиады.
1) при m = 2a+1 и n=2b+1 где a и b натуральные или ноль имеем периметр 2(2a+1+2b+1) = 4(a + b + 1) - кратен четырём
2) исходный квадрат составлен из нечётного количества "базовых" => при любой его "расчлененке" будет по меньшей мере один "нечётный" прямоугольник

9 ага, точно. итого: периметр прямоугольника со сторонами x y равен (x+y)*2. если x и y оба нечётные, то x+y чётное и периметр делится на 4.
площадь прямоугольника =x*y , она будет нечётной только если оба x и y нечётные. общая площадь квадрата нечётная, значит площадь хотя бы одного составляющего прямоугольника обязана быть нечётной.

(11) Согласен. Итожим:

1. При общем нечётном количестве единичных квадратиков для любых делений всегда существует хотя бы один прямоугольник с нечётным количеством этих базовых квадратиков. Иначе был бы нонсенс, когда сумма чётных была бы равна нечёту.

2. Для этого прямоугольника всегда выполняется строго: обе стороны нечётны. Ведь только произведение двух нечетов и даёт нечёт

3. при m = 2a+1 и n=2b+1 где a и b натуральные или ноль имеем периметр 2(2a+1+2b+1) = 4(a + b + 1) - кратен четырём (с) см. (11)

Спасибо!

(14) Давай ещё )

Помнится в школе на олимпиаде мне понравилась задачка:

При каких значениях а данное уравнение
1 + sin^2(а*х) = cos(х)
имеет единственное решение?

cos(x)<=1 для любых x
sin^2(x)>=0 для любых x
Распадается на систему
sin(a*x) = 0, cos(x) = 1
Из cos(x) = 1 имеем
x = 0 + 2*n*pi = 2*n*pi
синус этого угла отложенного a раз будет равен нулю при любых полуцелых значениях a
Решение будет единственным только если наложить дополнительное условие на возможные значения x (например от 0 [b]исключая [/b]до 2*pi включая)

(17) решение неверное... никаких дополнительных условий для х не предусмотрено

Давайте я упрощу задачку:
1 + sin^2(а*х) = cos(2х)

так чётче будет видно решение

Да оно и из (16) видно.
В (16) уравнение в принципе разрешимо только при полуцелых a
Но вот единственность решения на R не получается.

(20) Ну как же не получается. При каких а есть только одно решение х=0 ?

+(20) вернее (чтоб исключить недопонимание) не полуцелых, а вида k/2 где k натуральное или ноль

(22) оставим пока полуцелые... давайте сначала решим простую (19)

(21) - согласен, красиво :)

[quote=Гена;40429855]Давай ещё ) [/quote]
хочу, но не могу :( щас придет с олимпиады... остальное я вроде решила... обидно, что у нее ступор был с самолетами и местным временем :( а нам тут как-бы в Тайланд может быть улетать... "может быть", т.к. все не оч. хорошо (уже не так плохо, а то бы отказалась с потерей больше 100 тыс) вообще, образное мышление у современной молодежи практически отсутствует :( знает уже больше, чем я, но подумать, представить, применить - проблема :( я уже с задачами 8-го класса после работы не всегда сразу справляюсь, а она больше волнуется о том, насколько выгорят волосы и достаточно ли общипаны брови :( ну и пусть, пусть она будет не такая как я... может будет счастливей

+ с синусами-косинусами, если честно, пока все забыла... (не требует практического применения)... задачку Гены решить даже не пытаюсь... но скоро придется вспоминать...

а кто сказал, что квадрат резали чётко по целым значениям?
я вообще не понял, что там за сетка, может паучиная сеть какая-нить.

27-Зелёный тролль > условие в (1) не пробовал прочитать?

1) Квадрат с вершинами в [b]углах сетки[/b]

2) [b]и сторонами[/b] длиной 2015, [b]идущими по линиям сетки[/b]

3) разрезали по [b]линиям сетки.[/b]

******************

судя по тому что квадрат со сторонами по линиям сетки, то "контур" сетки квадратный. по крайней мере, если вершины квадрата попадут в углы сетки.

а вот насчёт 3) вообще ничего не понятно. кроме того что по линиям сетки, на которых находятся стороны квадрата этот квадрат разрезать не удастся.

значит есть какие то внутренние линии сетки, часть из которых позволяет нарезать весь квадрат на прямоугольники.
но про общую "прямоугольность" пересекающихся(если они есть - эти пересекающиея) линий информации нет. так же как и про сторону длину "ячеек", если так можно выразиться.

допустим внутри квадрата есть всего одна линия сетки позволяющая разрезать его на два прямоугольника со сторонами

2015 х 2010,3 и 2015 х 4.7

я бы не сказал что тут что-то разделится на 4 нацело.
хотя конечно в принципе на 4 разделить можно что угодно.
и тогда ответ действительно очевиден.

2-Buhta > что это за минимальный прямоугольник сетки? какие у него стороны? 1 и 2? тогда периметр = 6, если его разделить на 4 получим 1.5. то есть разделился. как я в 30 и говорил.
по мне так да, достаточно.

Не мудрствуйте. Задана длина стороны квадрата как 2015 без конкретизации единицы длины: метр, парсек, микрон и т.п. Это означает 2015 единиц сетки, т.е. квадратных ячеек. А в реальности данная рыбацкая сеть может быть любой длины в тех же см, например.

21-Гена > а почему х не может равняться 2 пи эн?
косинус два пи или четыре пи точно такой же как и косинус нуля

на единичной окружности в принципе не может быть единственного решения, т.к. любой угол при добавлении или вычитании 360 градусов будет давать тот же результат.

если рассматривать единственным решением - отсутствие решения. гарантировать его можно только при а = 0.

(33) Неверно. Начните с более простой задачи (19)

Вот еще. Что-то никаких мыслей по решению :(
Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка М. Докажите, что можно выбрать на стороне АВ точку С1, на стороне ВС - точку А1, на стороне АС - точку В1 таким образом, чтобы длины сторон треугольника А1В1С1 были равны отрезкам МА, МВ и МС.

мну кажется, что нужно найти минимальную сумму длин сторон вписанного треугольника. и доказать что она не меньше сумм длин отрезков с буквой М.
при вычислении видимо выразить сумму длин отрезков через сторону треугольника АBC

"что она не меньше" == "что она не больше"

Точку М отражаем симметрично относительно всех трех сторон. Получаем треугольник М1 М2 М3 подобный искомому. Через М1 М2 М3 проводим прямые, параллельные сторонам данного треугольника. Методом подобия переносим вписанный треугольник из большого равностороннего треугольника в заданный.

Не годится, стороны получаются с коэффициентом корень(3)/2. Вписали подобный искомому, а не равный.