Треугольник с целыми длинами сторон
 

Дан треугольник с целыми длинами сторон на плоскости.
Опустим из одной из его вершин высоту на противоположную сторону (или на ее продолжение). Эту сторону назовем основанием.
Вопрос: может ли длина основания равняться длине данной высоты?

а ты с какой целью инетерсуешься?

Кажись тут через пифагоровы штаны нарисовать формулу связывающую длины сторон

И далее:
Или предъявить пример такого
Или доказать что такого быть не может - то есть, что уравнение в целых числах не решается

Намек: 3*3 + 4+4 = 5*5

блин 3*3 + 4*4 = 5*5

(+3) не.... фигню написал. Каюсь

Интересная задача.
4 - с прямоугольным такой фокус не пройдет, ибо он должен быть равносторонний. а - катет с - гипотенуза.
2а*а=с*с или sqrt(2)*a=c. то есть с - уже не целое!

как вариант можно еще проверить высоту, опущенную на гипотенузу

Да, вроде, нехитро.
Изойдем из обратного: пусть треугольник существует и сторона, на которую опущена высота равна r.
Пусть основание = i + (r-i) всё вместе рациональное и даже целое.
Тогда вторая сторона треугольника = SQRT(i**2 + r**2)
По условию она д.б. целой. Целое в квадрате может быть только целым, => под корнем уж во всяком случае рациональное число, => i**2 - рационально.
.
Третья сторона треугольника = SQRT((r**2 + (r-i)**2) = SQRT( 2r**2 + i**2 - 2ri)
Первые 2 слагаемых рациональны, третье - нет. Значит, под корнем - иррац.
Но по условию третья сторона д.б. целой. Целое в квадрате не может быть иррац.

7 объясните, что такое i? вы через него находите сторону

(7) почему это третье слагаемое иррационально?

Сорри, я тоже лажанулся.
Ну так пока не напишешь, думать не получается :)
i - иррациональная часть основания.
соответственно, под корнем имеем:
2r**2 - рационально
i**2 - рационально, что следует из первой части
2ri - произведение рац. на иррац. Должно быть иррационально.
Проблема не в том :)
А в том, что основание можно разделить и рациональными частями. Тогда - сложно :(